Come calcolare la diagonale di un quadrato

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Il quadrato è un poligono regolare con quattro lati e quattro angoli uguali, tutti retti, ed è dotato di due diagonali. La diagonale di un quadrato è quel segmento che congiunge due vertici non consecutivi del poligono. Proprietà fondamentali delle diagonali sono quella di avere la stessa lunghezza e quella di essere perpendicolari fra di loro e il loro punto d’intersezione le divide esattamente a metà. La formula utilizzata per calcolare la diagonale di un quadrato è:

diagonale quadrato Come calcolare la diagonale di un quadrato

La dimostrazione immediata di questa formula si ottiene utilizzando il teorema di Pitagora che afferma: in un triangolo rettangolo, l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

calcolo diagonale quadrato Come calcolare la diagonale di un quadrato Ciascuna diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli, quindi la una diagonale del quadrato rappresenta l’ipotenusa dei due triangoli che si vengono a creare. Dalla formula del teorema di Pitagora si ha:

diagonale quadrato 1 Come calcolare la diagonale di un quadrato

diagonale quadrato 2 Come calcolare la diagonale di un quadrato

Poiché AB=BC=lato, allora

diagonale quadrato 3 Come calcolare la diagonale di un quadrato

Ad esempio se un quadrato ha la diagonale che misura 8 cm, la misura della diagonale si otterrà facendo

diagonale quadrato 4 Come calcolare la diagonale di un quadrato

Diagonale quadrato con la trigonometria

Se hai delle conoscenze di trigonometria puoi calcolare le diagonali del quadrato applicando le formule trigonometriche. Guardando l’immagine puoi notare come ciascuna diagonale divide il quadrato in due triangoli rettangoli: la diagonale AC forma i triangoli ABC e ACD, la diagonale BD dà origine ai triangoli ABD e BCD. Visto che questi triangoli sono tutti congruenti (hanno stessa forma e stessa superficie), possiamo prenderne in considerazione uno solo per calcolare una delle due diagonali.

Consideriamo il triangolo rettangolo ABC. Dalla trigonometria sappiamo che il cateto di un triangolo rettangolo è uguale all’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto o per il coseno dell’angolo adiacente. In un quadrato tutti gli angoli misurano 90° e le diagonali li dividono tutti e quattro a metà,  quindi il triangolo rettangolo ABC ha un angolo di 90° e due di 45°. Facendo riferimento alla figura, in formule scriviamo:

diagonale quadrato 5 Come calcolare la diagonale di un quadratodiagonale quadrato 6 Come calcolare la diagonale di un quadrato

In questo caso gli angoli sono tutti di 45°, ma se non fossero stati uguali da un cateto e l’altro gli angoli al seno e al coseno si invertirebbero.

Poiché a noi interessa l’ipotenusa (diagonale) usiamo la formula inversa per trovare AC. Ovviamente qualsiasi delle formule sopra è equivalente.

diagonale quadrato 7 Come calcolare la diagonale di un quadrato

Possiamo utilizzare uno di questi quattro risultati, infatti AB = BC perché si tratta di un quadrato e cos 45° = sin 45°.

In generale una diagonale di un quadrato si può calcolare come

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