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Prima di introdursi a come si calcola l’area di un poligono regolare bisogna aver ben chiaro in mente i concetti di apotema e raggio di un poligono. Quando si parla di poligono regolare bisogna sapere che questa figura può essere inscritta in una circonferenza (cioè trovarsi all’interno di essa) o circoscritta ad una circonferenza (trovarsi all’esterno) come in figura.

area poligono

L’apotema rappresenta il raggio della circonferenza inscritta nel poligono ed è importante perché coincide con la distanza del centro del poligono con il suo lato. Il raggio di un poligono invece rappresenta il raggio della circonferenza che lo circoscrive.

Formula dell’area di un poligono regolare: numeri fissi

  
  


La formula che si usa per trovare l’area di un poligono regolare è questa:

area poligono

Quindi se abbiamo un pentagono con perimetro di 50 cm e apotema di 10 cm allora la sua area è data da 50 × 10 = 500 ÷ 2 = 250 cm².

Nei poligoni regolari esiste una relazione tra il lato del poligono e l’apotema data dalla formula

area poligono

Questa formula è molto utile perché se conosciamo il lato del poligono basterà moltiplicarlo per il numero fisso per ottenere l’apotema e da qui calcolare l’area. Ricordiamo che ciò vale per i poligoni regolari, i quali hanno tutti i lati uguali.

Tabella dei numeri fissi

Questa è la tabella dei numeri fissi che rappresentano il rapporto fra il lato e apotema (l/a):

Poligono Regolare Numero Fisso
triangolo (3 lati) 0,289
quadrato (4 lati) 0,5
pentagono (5 lati) 0,688
esagono (6 lati) 0,866
ettagono (7 lati) 1,038
ottagono (8 lati) 1,207
ennagono (9 lati) 1,374
decagono (10 lati) 1,539
endecagono (11 lati) 1.703
dodecagono (12 lati) 1,866
pentadecagono (15 lati) 2,352

Facciamo un esempio considerando un ettagono (poligono regolare con 7 lati uguali) di lato 15 cm. Dalla tabella vediamo che il numero fisso dell’ettagono è 1,038:

  • otteniamo l’apotema moltiplicando il lato per il numero fisso: 15 cm × 1,038 = 15,57 cm; ora possiamo calcolare l’area che è uguale a perimetro per apotema diviso 2;
  • l’ettagono ha sette lati uguali quindi il perimetro è uguale a 15 cm × 7 = 105 cm;
  • moltiplichiamo il perimetro per l’apotema: 105 cm × 15,57 cm = 1634,85 cm²;
  • dividiamo il risultato per due: 1634,85 cm² ÷ 2 = 817,4 cm².

L’area dell’ettagono considerato è di 817,4 cm².

Spiegazione del procedimento

Per capire perché applichiamo questo procedimento osserviamo l’immagine e da qui sarà più facile comprendere perché si utilizza questa formula.

area poligono

Ogni poligono regolare può essere suddiviso in un numero di triangoli pari al numero dei suoi lati. Ad esempio un pentagono viene suddiviso in cinque triangoli uguali, un esagono in sei, un ettagono in sette e così via. Possiamo vedere che ogni triangolo ha come base il lato del poligono che stiamo considerando e l’altezza coincide proprio con l’apotema.

area poligono

Se vogliamo calcolare l’area di un singolo triangolo usiamo la formula

area poligono

In questa formula sostituiamo il lato al posto della base e l’apotema al posto dell’altezza, otterremo lo stesso risultato questa volta facendo riferimento al triangolo qui sopra.

area poligono

Per ottenere l’area di tutto il poligono dobbiamo moltiplicare l’area del singolo triangolo per il numero di triangoli che formano il poligono, che abbiamo detto coincidere proprio col numero di lati. Prendiamo l’ettagono in figura: esso è costituito da sette triangoli, quindi moltiplichiamo questa formula per sette

area poligono

Se noi moltiplichiamo il lato dell’ettagono per sette (7 × lato) otteniamo il suo perimetro, cioè la lunghezza del suo contorno

area poligono

  
  

Ecco la formula che abbiamo introdotto all’inizio per calcolare l’area di un poligono regolare.
Nota bene che questo procedimento equivale a calcolare l’area di un poligono circoscritto in una circonferenza.

Formula dell’area di un poligono regolare: fattore per area

In ogni poligono regolare il rapporto fra l’area e il quadrato del suo lato è costante cioè

area-poligono

possiamo da questa formula dedurre che

area poligono

dove φ è una costante fissa per ogni tipo di poligono a seconda di quanti lati ha. Ecco una tabella con i valori per ogni figura

Poligono Regolare Fattore per Area
triangolo (3 lati) 0,433
quadrato (4 lati) 1
pentagono (5 lati) 1,720
esagono (6 lati) 2,598
ettagono (7 lati) 3,634
ottagono (8 lati) 4,828
ennagono (9 lati) 6,182
decagono (10 lati) 7,694
endecagono (11 lati) 9,366
dodecagono (12 lati) 11,196
pentadecagono (15 lati) 17,642

È possibile usare anche questa formula a seconda dei dati che ci dà il problema.

Se ti possono interessare ecco le spiegazioni di alcuni casi particolari:

Se ti può interessare scopri come si calcola il lato di un poligono regolare.

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