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Il rombo è un parallelogramma che ha quattro lati congruenti ed è dotato di due diagonali, una più lunga detta diagonale maggiore e una più corta detta diagonale minore, perpendicolari fra loro e che si intersecano nei rispettivi punti medi. Le diagonali sono la caratteristica che lo differenzia dal quadrato: anche quest’ultimo infatti ha tutti i lati congruenti ma le sue diagonali hanno la stessa lunghezza. Possiamo quindi concludere che il quadrato è un particolare tipo di rombo.

Diagonali rombo: formule inverse

Per sapere come calcolare le diagonali del rombo dobbiamo ricavare le formule inverse da un’altra formula molto importante, quella dell’area del rombo:

diagonali rombo

La formula inversa per calcolare la diagonale maggiore si ottiene moltiplicando entrambi i membri per 2 e dividendoli entrambi per la diagonale minore, quindi

diagonale rombo

Allo stesso modo per la diagonale minore si ottiene

diagonale rombo

Per utilizzare queste formule dobbiamo conoscere il valore dell’altra diagonale che non stiamo calcolando.

Diagonali rombo: teorema di Pitagora

  
  


Un altro modo per calcolare le diagonali del rombo è quello di sfruttare alcune caratteristiche di questa figura per usare il teorema di Pitagora. Guardando l’immagine, infatti, notiamo che le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli

diagonali rombo

Se conosciamo la lunghezza del lato del rombo (che ha tutti i lati uguali, quindi possiamo scegliere uno qualsiasi dei quattro triangoli) applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il lato del rombo, il cateto minore è la metà della diagonale minore, il cateto maggiore è la metà del cateto maggiore.

diagonale-rombo-2
diagonale-rombo-3

Anche in questo caso abbiamo bisogno di conoscere la lunghezza dell’altra diagonale. Bisogna moltiplicare la radice quadrata per 2 perché i cateti di ogni triangolo rettangolo sono la metà delle rispettive diagonali.

Diagonali rombo noto un angolo al vertice

Le formule viste presentano l’inconveniente di dover conoscere la lunghezza dell’altra diagonale per poter calcolare quella che ci serve. Esiste un altro metodo grazie al quale se, oltre al lato del rombo, conosciamo l’ampiezza di almeno un angolo al vertice (in realtà di due angoli al vertice perché sono a due a due uguali), è possibile applicare le formule di trigonometria.

diagonali rombo

Facciamo riferimento al rombo in figura. Supponiamo di conoscere l’angolo DAB (che è uguale a BCD) e svogliamo i nostri calcoli sul triangolo rettangolo ABO.

Dalla trigonometria sappiamo che

In un triangolo rettangolo il cateto è uguale all’ipotenusa moltiplicata per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso oppure per il coseno dell’angolo adiacente.

Per cui se, per esempio, θ è l’angolo opposto al cateto che vogliamo calcolare e φ è l’angolo adiacente, l’enunciato sopra si scrive

diagonali rombo

Poiché conosciamo l’angolo DAB e poiché la diagonale del rombo lo divide esattamente a metà, ci basta dividere DAB per due per ottenere OAB ed usarlo nelle formule appena enunciate. Poniamo OAB = θ per rendere più fluida la trattazione.

Scriviamo le formule trigonometriche inserendo i dati del triangolo AOB. Il cateto minore è

diagonali rombo

dove θ è l’angolo adiacente ad AO.

Il cateto maggiore è

diagonali rombo

dove θ è l’angolo opposto a BO.

Il cateto maggiore e il cateto minore del triangolo rettangolo rappresentano rispettivamente la metà della diagonale maggiore e la metà della diagonale minore, per cui basta moltiplicare per due le lunghezze dei cateti ottenute per trovare le rispettive diagonali.

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