proporzioni

  
  

Dalla definizione di proporzione sappiamo che essa rappresenta l’uguaglianza fra due rapporti. Una proporzione è molto utile per calcolare un valore incognito presente in essa. Se abbiamo una proporzione di cui conosciamo il valore di tre termini possiamo calcolare il quarto grazie alla proprietà fondamentale delle proporzioni.

La proprietà fondamentale afferma che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi. In formule diciamo che data la proporzione

calcolo proporzioni

vale questa proprietà

calcolo proporzioni

Calcolo proporzioni: terzo proporzionale

  
  


Supponiamo di avere nella proporzione un termine incognito x

calcolo proporzioni

che in questo caso prende il nome di terzo proporzionale, cioè è il terzo termine della proporzione.

Il prodotto degli estremi a · c deve essere uguale al prodotto dei medi b · x

calcolo proporzioni

Dividendo entrambi i membri dell’equazione (la parte prima dell’uguale e quella dopo) per b otteniamo che il terzo proporzionale è uguale al prodotto dei medi diviso l’estremo di cui conosciamo il valore

calcolo proporzioni

Calcolo proporzioni: quarto proporzionale

Facendo lo stesso ragionamento se il quarto proporzionale (cioè il quarto termine dell’equazione) è incognito

calcolo proporzioni

allora è uguale al prodotto dei medi fratto il valore dell’estremo che conosciamo

calcolo proporzioni

Calcolo proporzioni: medio proporzionale

Se nella proporzione i due medi sono uguali

calcolo proporzioni

il prodotto dei medi è uguale a x · x = x² e il prodotto degli estremi è a · b e devono uguagliarsi

calcolo proporzioni

facciamo la radice quadrata di entrambi i membri e otteniamo il valore del termine medio

calcolo proporzioni

Con lo stesso ragionamento se gli estremi sono uguali

calcolo proporzioni

il valore si trova con la stessa formula, solo che in questo caso a e b sono i medi della proporzione.

Come calcolo un aumento o una diminuzione in proporzione?

Facciamo un esempio pratico di calcolo di una proporzione. Abbiamo invitato degli amici a cena e vogliamo fare la pizza. In tutto siamo sette persone. La ricetta che utilizzo per l’impasto della pizza prevede che utilizzi 500 grammi di farina per 4 persone. Come faccio a sapere di quanto aumentare in proporzione la quantità di farina? È semplice: costruiamo la tabella seguente:

Quantità di farina nella ricetta Numero di persone nella ricetta Quantità di farina da calcolare Numero di persone a cena
500 g 4 x 7

La proporzione da fare è:

500 : 4 = x : 7

cioè 500 g di farina servono per 4 persone come la quantità x ne serve per 7. Ora applichiamo la regola descritta sopra per calcolare il terzo proporzionale e abbiamo:

calcolo proporzioni

La quantità di farina necessaria per 7 persone è 875 grammi. Ovviamente nel caso servisse diminuire proporzionalmente una quantità (per esempio se ci fossero meno persone nel caso considerato) basta usare lo stesso procedimento sostituendo al posto di 7 il numero previsto nel proprio caso.

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