Come calcolare il volume di una sfera

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La sfera è uno dei solidi più conosciuti e diffusi nel mondo reale. Sapere come si calcola il suo volume può essere molto utile nella pratica.

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La sfera è un solido geometrico costituito dall’insieme dei punti che hanno una distanza da un punto fisso detto centro che è minore o uguale alla lunghezza di un dato segmento. Questo segmento si chiama raggio della sfera. In particolare si dice sfera cava l’insieme dei punti che hanno tutti la stessa distanza dal centro (in questo caso la sfera è vuota al suo interno).

Un’altra definizione utile è quella secondo cui la sfera è un solido che si ottiene per rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro, cioè quel segmento equivalente a due volte il raggio.

sfera Come calcolare il volume di una sfera

Volume sfera: la formula

Per calcolare il volume della sfera, cioè la misura dello spazio che la sfera delimita, bisogna usare la formula

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dove r è la misura del raggio della sfera. Ricordiamo che r³ = r · r · r.

Volume sfera: la spiegazione

La formula finale per trovare il volume di una sfera si trova con un procedimento che richiede la conoscenza del calcolo integrale, che si studia in analisi matematica. Perciò se non hai ancora affrontato questi argomenti puoi tralasciare questa parte altrimenti, se ti può interessare, puoi approfondire questi concetti con uno studio personale.

Immaginiamo di suddividere la sfera in tanti cerchi con dei piani orizzontali che intersecano la sfera, talmente tanti che possiamo dire infiniti.

Il raggio di questi cerchi non è lo stesso per tutti, infatti il raggio di un cerchio che si trova vicino al centro della sfera è più grande di quello di un cerchio che si trova all’estremità. Questo raggio varierà in funzione di t, cioè della distanza di un cerchio dal centro della sfera. Quindi chiamiamo il raggio f(t).

Ora vogliamo sommare le aree di tutti i cerchi che compongono la sfera per ottenere il suo volume. Visto che la distanza t dal centro varia per ogni cerchio di una distanza molto molto piccola (infinitesima) calcoliamo l’integrale in dt. L’area di ogni cerchio si calcola come

area cerchio 1 Come calcolare il volume di una sfera

poiché abbiamo posto r = f(t), l’integrale da calcolare è

volume sfera 1 Come calcolare il volume di una sfera

Il raggio f(t) di ogni cerchio si può ottenere con il teorema di Pitagora perché forma un triangolo rettangolo con il raggio della sfera e con la distanza l dal centro (prova a disegnare questi elementi per verificare)

volume sfera 2 Come calcolare il volume di una sfera

sostituendo nell’integrale

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dove π esce dall’integrale perché è una costante. Poiché l’integrale di una somma di funzioni è uguale alla somma dei singoli integrali delle stesse funzioni abbiamo

volume sfera 4 Come calcolare il volume di una sfera

da cui otteniamo che il volume della sfera è uguale a

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Volume sfera: esempio

Supponiamo di avere una sfera di raggio 15 cm. Questo è l’unico dato che ci serve per calcolare il volume, infatti conosciamo già il valore di π = 3,14.

  1. Eleviamo al cubo il valore del raggio, cioè lo moltiplichiamo tre volte per sé stesso: (15 cm)³ = 15 cm · 15 cm · 15 cm = 3375 cm³;
  2. moltiplichiamo il risultato per π: 3375 cm³ · π = 10602.88 cm³;
  3. moltiplichiamo quest’ultimo risultato per 4/3: 10602.88 cm³  4/3 = 14137,173 cm³.

Il volume di una sfera con raggio di 15 cm è di 14137,173 cm³.

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