Area del Cerchio

  
  

La circonferenza è una delle figure piane più ricorrenti nella vita reale, per cui saperne calcolare il raggio può tornarci utile non solo per svolgere un esercizio ma anche nella pratica.

Raggio circonferenza nota la circonferenza

È possibile ricavare la formula per calcolare il raggio della circonferenza tenendo presente quella necessaria per calcolare la lunghezza di una circonferenza, utilizzandola per ottenere la formula inversa. Sappiamo che per calcolare la circonferenza si usa

raggio circonferenza

Come puoi notare nella formula compare il raggio, da qui possiamo ottenere la formula inversa: dividendo entrambi i membri per 2π otteniamo

raggio circonferenza

Quindi per ottenere il raggio quando conosciamo la misura della circonferenza ci basta dividerla per 2π.

Se ad esempio una circonferenza misura 50 cm, per trovare quanto misura il suo raggio facciamo

50 ÷ 2π  ≈ 7,958

approssimando per eccesso, il raggio della nostra circonferenza è di 7,958 cm.

Raggio circonferenza in geometria analitica

  
  


Quando una circonferenza viene inserita in un sistema di assi cartesiani Oxy, la si può esprimere con la formula

raggio circonferenza

che rappresenta l’equazione che descrive i punti di una circonferenza nel piano cartesiano con centro C(−a;−b). Quando ci ritroviamo una circonferenza qualsiasi, che al posto delle lettere ha dei numeri, il suo raggio si calcola con la formula

raggio circonferenza

Abbiamo appena visto il caso di una circonferenza nel piano, quindi a due dimensioni. Nel caso la circonferenza abbia caratteristiche tridimensionali la formula cambia leggermente per il fatto che si aggiunge una terza coordinata. Se una circonferenza viene inserita in un sistema di assi cartesiani Oxyz, la sua equazione sarà del tipo

raggio circonferenza

la quale rappresenta, appunto, una circonferenza, che ha centro C(−a;−b;−c). Il suo raggio in questo caso vale

raggio circonferenza

Nota bene che l’unica differenza fra la circonferenza nel piano cartesiano e la circonferenza nello spazio cartesiano sta nell’aggiunta in quest’ultima di una terza coordinata z, che causa una leggera variazione nelle notazioni (ad esempio la costante che prima chiamavamo c ora la chiamiamo d).
Facciamo un esempio per chiarire il procedimento. Supponiamo di avere una circonferenza in un sistema cartesiano Oxyz (quindi a 3 dimensioni). La sua equazione è

x² − 8x + 5 + y² + 12y − 4 + z² + 2z − 10 = 50

Puoi notare che la forma sembra “disordinata”, ma richiama comunque la formula dell’equazione che abbiamo visto sopra. Ordiniamo tutte le componenti per ottenere la forma che di riferimento:

x² + y² + z² − 8x + 12y + 2z + 5 − 4 − 10 − 50 = 0

Cerchiamo di attribuire ciascun elemento a quello che corrisponde nell’equazione generale:

2ax = 8x
2by = 12y
2cz = 2z
d = 5−4−10−50

Eliminando le variabili x, y e z otteniamo

2a = 8  →  a = 4
2b = 12  →  b = 6
2c = 2  →  c = 1
d = −59

Il raggio dunque è dato da R = √(4)² + (6)² + (1)² + 59 = √112 ≈ 10,58.

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