Teorema di monotonia del limite

Siano A ⊆ ℝ, ƒ: A → ℝ e g: A → ℝ due funzioni, sia x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} un punto di accumulazione per A, siano b1, b2 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}. Si suppone inoltre che

teorema di monotonia del limite

Ipotesi 1

b1<b2

Tesi 1

∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x)<g(x)

Dimostrazione 1

Presi due intorni I1I(b1) e I2I(b2) tali che ∀ y1 ∈ I1, ∀ y2 ∈ I2: y1<y2

Dalla definizione di limite abbiamo che dati per ipotesi i seguenti limiti:

teorema di monotonia del limite

allora

∃ J1I(x0)|∀ x ∈ A ∩ J1\{x0}:ƒ(x) ∈ I1
∃ J2I(x0)|∀ x ∈ A ∩ J2\{x0}:g(x) ∈ I2

Si considera un intorno J=J1∪J2I(x0) per cui si ha:

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}:ƒ(x) ∈ I1 ∧ g(x) ∈ I2 ⇒ ƒ(x)<g(x)

Ipotesi 2

∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x)≤g(x)

Tesi 2

b1≤b2

Dimostrazione 2

Se per assurdo dovesse essere b2<b1, allora per il primo enunciato che abbiamo dimostrato dovrebbe essere g(x)<ƒ(x), che è una contraddizione con le nostre ipotesi. Deve essere b1≤b2.

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