Prima di affrontare lo studio dei limiti destro e sinistro bisogna conoscere bene la definizione generale di limite. Quando si studia una funzione è possibile suddividere un limite in limite destro e sinistro; il primo studia il comportamento di una funzione in un intorno destro di un punto, il secondo in un intorno sinistro. Questa distinzione è molto utile perché talvolta una funzione può assumere un andamento differente a destra e a sinistra di un punto; i limiti destro e sinistro tornano utili nello studio dei punti di discontinuità e, quando si affronteranno le derivate, nello studio dei punti di non derivabilità (punto angoloso, cuspide, flesso). Leggi cos’è l’intorno di un punto.

Definizione di limite destro

Siano  A ⊆ ℝ, ƒ: A → ℝ, sia x0 ∈ ℝ un punto di accumulazione a destra per A e b ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}; il limite destro di ƒ in x0 si denota:

definizione-limite-destro

e si dice che la funzione ƒ tende a b a destra di x0. Si dice che b è limite destro di ƒ in x0 se

∀ I ∈ I(b) ∃ J ∈ I+(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x) ∈ I

Definizione di limite sinistro

Siano  A ⊆ ℝ, ƒ: A → ℝ, sia x0 ∈ ℝ un punto di accumulazione a sinistra per A e b ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}; il limite sinistro di ƒ in x0 si denota:

definizione-limite-sinistro

diciamo che la funzione ƒ tende a b a sinistra di x0. Diciamo che b è limite destro di ƒ in x0 se

∀ I ∈ I(b) ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x) ∈ I

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