Il primo teorema di confronto, noto anche come “teorema dei carabinieri“, permette di valutare il comportamento di una funzione in un punto confrontandola con altre due funzioni fra le quali essa è compresa: se le due funzioni tendono ad un certo limite in quel punto anche la terza deve tendere allo stesso limite. Vediamo in termini tecnici come si enuncia il teorema.

Primo teorema di confronto

Date tre funzioni ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ, h: A → ℝ, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A, b ∈ ℝ.

Ipotesi

  1. ∃ J0I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: g(x)≤ƒ(x)≤h(x)

    (esiste un intorno di x0 dove ƒ è compresa fra g e h).

  2. primo teorema di confronto

Tesi

primo teorema di confronto

Dimostrazione

Per dimostrare la tesi bisogna verificare che valga la definizione di limite in x0, cioè:

∀ ε > 0 ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: b−ε < ƒ(x) < b+ε

Scelto quindi ε > 0, abbiamo che

primo-teorema-confronto-1

implica che (sempre per la definizione di limite):

∀ ε > 0 ∃ J1I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1\{x0}: b−ε < g(x) < b+ε

Allo stesso modo

primo-teorema-confronto-2

significa che:

∀ ε > 0 ∃ J2I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J2\{x0}: b−ε < h(x) < b+ε

Scelto J = J0 ∩ J1 ∩ J2, in questo intorno si ha che:

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: b−ε < g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) < b+ε

Infatti nell’intorno J abbiamo che g(x) ≤ ƒ(x) ≤ h(x) perché prendiamo le x di J0, b−ε<g(x)<b+ε perché ci sono le x di J1 e b−ε<h(x)<b+ε perché ci sono le x di J2. Abbiamo verificato la definizione di limite per ƒ(x):

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: b−ε<ƒ(x)<b+ε

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