Il secondo teorema di confronto studia il comportamento di due funzioni, una delle quali tende a +∞ (o −∞); se l’altra funzione è maggiore (rispettivamente minore) di quest’ultima nell’intorno considerato allora dovrà tendere anche essa a +∞ (rispettivamente −∞).

Secondo teorema di confronto

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni e x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A.

Caso 1

Ipotesi 1

  1. secondo teorema di confronto

  2. ∃ J0I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: g(x)≤ƒ(x)

Tesi 1

secondo teorema di confronto

Dimostrazione 1

Per dimostrare la tesi dobbiamo verificare la definizione di limite di funzione che tende a +∞ quando x → xper ƒ:

∀ M ∈ ℝ ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x) > M

Scelto M ∈ ℝ, applichiamo la definizione al limite di g(x):

∀ M ∈ ℝ ∃ J1 ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1 \ {x0}: g(x) > M

Considerando l’intorno J = J0 ∩ J1, qui si ha che

∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x) ≥ g(x) > M

in cui ƒ(x) ≥ g(x) perché ci sono le x appartenenti a J0 e g(x) > M perché ci sono le x appartenenti a J1. È verificata la definizione di limite di ƒ in x0 e quindi la tesi è dimostrata.

Caso 2

Ipotesi 2

  1. secondo teorema di confronto

  2. ∃ J0I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: ƒ(x)≤g(x)

Tesi 2

secondo teorema di confronto

Dimostrazione 2

Verifichiamo ancora la definizione di limite di funzione quando tende a −∞ quando x → xper ƒ:

∀ M ∈ ℝ ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x) < M

Scelto M ∈ ℝ, applichiamo la definizione al limite di g(x):

∀ M ∈ ℝ ∃ J1 ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1 \ {x0}: g(x) < M

Considerando l’intorno J = J0 ∩ J1, qui si ha che

∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x) ≤ g(x) < M

dove ƒ(x) ≤ g(x) perché ci sono le x appartenenti a J0 e g(x) < M perché ci sono le x appartenenti a J1. È verificata la definizione di limite di ƒ in x0 e quindi la tesi è dimostrata.

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