Il teorema del limite della somma di funzioni è fondamentale perché ci dice come dobbiamo comportarci se il limite è posto davanti alla somma di due o più funzioni. In particolare afferma che il limite della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti presi separatamente; ciò potrebbe sembrare scontato ma deve essere opportunamente dimostrato. Vediamo in cosa consiste il teorema in maniera più rigorosa.

Limite della somma di funzioni: caso finito

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A e b1, b2 ∈ ℝ.

Ipotesi

limite della somma di funzioni

Tesi

limite della somma di funzioni

Dimostrazione

Bisogna dimostrare che sia verificata la definizione di limite nel caso in cui le due funzioni vengano sommate, quindi dimostriamo questa condizione:

∀ ε > 0 ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: b1+b2−ε<ƒ(x)+g(x)<b1+b2

Scelto ε > 0 (arbitrario), applichiamo la definizione al limite di ƒ(x) utilizzando ε/2>0; la scelta è legittima perché sia ε che ε/2 sono arbitrari e rappresentano numeri sufficientemente piccoli di cui non ci interessa il valore preciso; la scelta di ε/2 è fatta solo perché è una notazione utile per ottenere la definizione di limite in termini di notazioni, come vedremo più avanti.

∀ ε/2 > 0 ∃ J1I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1\{x0}: b1−ε<ƒ(x)<b1

Scriviamo la definizione al limite di g(x):

∀ ε/2 > 0 ∃ J2I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J2\{x0}: b2−ε<ƒ(x)<b2

Consideriamo l’intorno J = J1 ∩ J2 di x0, facendo la somma delle disuguaglianze che abbiamo appena scritto otteniamo:

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: b1+b2−ε<ƒ(x)+g(x)<b1+b2

Abbiamo quindi dimostrato la tesi.

Limite della somma di funzioni: caso infinito

Caso 1

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A.

Ipotesi 1

Sia

limite della somma di funzioni

e sia g limitata inferiormente in un intorno di x0:

∃ J0I(x0) ∃ c ∈ ℝ | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: g(x) ≥ c

Tesi 1

limite della somma di funzioni

Dimostrazione 1

In questo caso bisogna dimostrare la definizione di limite nel caso infinito, cioè:

∀ M ∈ ℝ ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x)+g(x)>M

Applicando la definizione di limite a ƒ scegliendo opportunamente M−c (anche in questo caso la scelta è arbitraria, quindi scegliamo opportunamente M−c per ottenere alla fine la notazione che ci cerchiamo):

∃ J1I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1\{x0}: ƒ(x)>M−c

Scelto J = J0 ∩ J1 intorno di x0, in questo intorno si ha che:

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x)+g(x)>M−c+g(x)>M−c+c=M

Quindi

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}:ƒ(x)+g(x)>M

abbiamo dimostrato la tesi.

Caso 2

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A.

Ipotesi 2

Sia

limite della somma di funzioni

e sia g limitata superiormente in un intorno di x0:

∃ J0I(x0) ∃ c ∈ ℝ | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: g(x) ≤ c

Tesi 2

limite della somma di funzioni

Dimostrazione 2

In questo caso bisogna dimostrare la definizione di limite nel caso infinito, cioè:

∀ M ∈ ℝ ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x)+g(x)<M

Applicando la definizione di limite a ƒ scegliendo opportunamente M−c (anche in questo caso la scelta è arbitraria, quindi scegliamo opportunamente M−c per ottenere alla fine la notazione che ci cerchiamo):

∃ J1I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1\{x0}: ƒ(x)<M−c

Scelto J = J0 ∩ J1 intorno di x0, in questo intorno si ha che:

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x)+g(x)<M−c+g(x)<M−c+c=M

Quindi

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}:ƒ(x)+g(x)<M

la tesi è stata dimostrata.

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