Grazie al teorema sul limite del prodotto di funzioni sappiamo come comportarci quando abbiamo un limite davanti alla moltiplicazione fra due funzioni; infatti il limite di un prodotto di funzioni è uguale al prodotto dei limiti di ogni funzione presi separatamente.

Limite del prodotto di funzioni: caso finito

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A e b1, b2 ∈ ℝ.

Ipotesi

limite del prodotto di funzioni

Tesi

limite del prodotto di funzioni

Limite del prodotto di funzioni: caso infinito

Caso 1

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A.

Ipotesi 1

Sia

limite del prodotto di funzioni

e sia g limitata inferiormente in un intorno di x0:

∃ J0I(x0) ∃ c ∈ ℝ | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: g(x) ≥ c

Tesi 1

limite del prodotto di funzioni

Caso 2

Siano ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ due funzioni, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} punto di accumulazione per A.

Ipotesi 2

Sia

limite del prodotto di funzioni

e sia g limitata superiormente in un intorno di x0:

∃ J0I(x0) ∃ c ∈ ℝ | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: g(x) ≤ c

Tesi 2

limite del prodotto di funzioni

Limite del prodotto di funzioni: forme indeterminate

Talvolta studiando il limite del prodotto di funzioni si possono ottenere delle forme indeterminate:

limite del prodotto di funzioni

le quali non danno alcuna informazione sul limite studiato. In questi casi bisogna utilizzare altri strumenti per capire il comportamento del prodotto nell’intorno considerato.

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