Prima di affrontare lo studio del limite di funzione reciproca, diamo la definizione di funzione reciproca.
Siano A ⊆ ℝ, ƒ: A → ℝ. Un’ipotesi fondamentale per definire la funzione reciproca è la seguente:

∀ x ∈ A: ƒ(x) ≠ 0

La funzione reciproca di ƒ si denota

limite di funzione reciproca

e per essa si ha che

limite di funzione reciproca

Come il reciproco di un numero è quello che moltiplicato per il numero stesso dà come risultato 1, lo stesso vale per le funzioni. L’ipotesi per cui ƒ(x) non debba mai annullarsi è importante perché altrimenti, se ƒ fosse uguale a 0 per qualche x, l’espressione della funzione reciproca per quelle x non ha senso.

Limite di funzione reciproca

Sia ƒ: A → ℝ una funzione reale tale che ∀ x ∈ A: ƒ(x) ≠ 0 e sia

limite di funzione reciproca

la sua funzione reciproca.

Dati inoltre x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} un punto di accumulazione per A e b ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}, consideriamo il limite:

limite di funzione reciproca

Il limite della funzione reciproca di ƒ assume valori diversi a seconda del valore che assume il limite b di ƒ:

  1. se b ∈ ℝ\{0} il limite della funzione reciproca è

    limite di funzione reciproca

  2. se b=±∞ il limite della funzione reciproca è

    limite di funzione reciproca

  3. se b=0 il limite della funzione reciproca vale

    limite di funzione reciproca

In quest’ultimo caso siamo certi che il limite vale +∞ solo se consideriamo il modulo della funzione ƒ.
Per stabilire il segno di infinito abbiamo che:

  1. se ƒ è positiva in un intorno di x0 (escluso al più x0), cioè se

    ∃ J ∈ I(x0)| ∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x)>0

    allora

    limite di funzione reciproca

  2. se ƒ è negativa in un intorno di x0 (escluso al più x0), cioè se

    ∃ J ∈ I(x0)| ∀ x ∈ A ∩ J \ {x0}: ƒ(x)<0

    allora

    limite di funzione reciproca

  3. se non è verificata nessuna delle condizioni precedenti, cioè se

    ∀ J ∈ I(x0) ∃ x1, x2 ∈ A ∩ J \ {x0} | ƒ(x1)>0 ∧ ƒ(x2)<0

    allora il limite della funzione reciproca non esiste.

 

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