limite-quoziente-funzioni

Il teorema sul limite del quoziente di funzioni definisce come ci dobbiamo comportare nel caso di divisione fra due funzioni.

Limite del quoziente di funzioni

Siano A ⊆ ℝ, ƒ: A → ℝ, g: A → ℝ, x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} un punto di accumulazione per A e a, b ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}. Si supponga inoltre che

∀ x ∈ A: g(x) ≠ 0

e che esistano i seguenti limiti:

limite del quoziente di funzioni

limite del quoziente di funzioni

Il limite del quoziente di funzioni si può considerare come prodotto fra il limite di ƒ in xe il limite della funzione reciproca di g in x0. La funzione reciproca di g è:

limite del quoziente di funzioni

e per essa si ha che

limite del quoziente di funzioni

Se il limite di g in x0 vale b, allora

limite del quoziente di funzioni

Il limite del quoziente è

limite del quoziente di funzioni

Applicando il teorema sul limite del prodotto di funzioni, otteniamo

limite del quoziente di funzioni

Considerati i limiti che abbiamo definito prima, il limite del quoziente vale

limite del quoziente di funzioni

Limite del quoziente di funzioni: casi particolari

a ∈ ℝ e b ∈ ℝ

Se il limite al numeratore e il limite al denominatore sono numeri reali:

limite del quoziente di funzioni

a ∈ ℝ e b=±∞

Se il limite al numeratore è un numero reale e al denominatore è infinito:

limite del quoziente di funzioni

a ∈ ℝ e b=0

Se il limite al numeratore è un numero reale e al denominatore è 0:

limite del quoziente di funzioni

Il segno + o − di infinito dipende dal segno che assume g nell’intorno di x0.

a=±∞ e b ∈ ℝ

Se il limite al numeratore è infinito e al denominatore è un numero reale:

limite del quoziente di funzioni

Il segno + o − di infinito dipende dal segno che assume ƒ nell’intorno di x0.

a=0 e b ∈ ℝ

Se il limite al numeratore è 0 e al denominatore è un numero reale:

limite del quoziente di funzioni

Ecco una tabella riassuntiva

Limite di ƒ Limite di g Limite del quoziente
a ∈ ℝ b ∈ ℝ a/b
a ∈ ℝ ±∞ 0
a ∈ ℝ 0 ±∞
±∞ b ∈ ℝ ±∞
0 b ∈ ℝ 0

Limite del quoziente di funzioni: forme indeterminate

Molto spesso succede che studiando il limite del quoziente di due funzioni si trovino delle forme indeterminate, cioè i limiti ottenuti si presentano nelle seguenti forme:

limite del quoziente di funzioni

Queste espressioni non hanno significato e non ci danno alcuna informazione sul limite del quoziente; è necessario utilizzare altri strumenti per studiare il comportamento del quoziente nell’intorno considerato.

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