limite-funzione-composta

Prima di affrontare lo studio dei limiti di funzione composta assicurati di aver ben chiaro cos’è una funzione composta.

Limite della funzione composta

Dati A, B ⊆ ℝ, ƒ: A → ℝ, g: B → ℝ con ƒ(A)⊂B (l’immagine di ƒ deve essere contenuta in B), consideriamo la funzione composta

g ο ƒ: A → ℝ

tale che

∀ x ∈ A: (g ο ƒ)(x)=g(ƒ(x))

Sia x0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞} un punto di accumulazione per A.

Ipotesi

  1. limite-funzione-composta

    con y0 ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}

  2. y0 è un punto di accumulazione per B
  3. limite-funzione-composta-1

    con b ∈ ℝ ∪ {−∞; +∞}

  4. ∃ J0I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J0\{x0}: ƒ(x)≠y0

Tesi

limite-funzione-composta-2

Dimostrazione

Bisogna dimostrare la definizione di limite per la funzione composta:

∀ I ∈ I(b) ∃ J ∈ I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: g(ƒ(x)) ∈ I

Considerato un intorno I ∈ I(b), il limite di g che abbiamo nelle ipotesi prevede che

∃ I1I(y0) | ∀ y ∈ B ∩ I1\{y0}: g(y) ∈ I

Inoltre per il limite di ƒ che abbiamo ipotizzato vale la seguente condizione:

∃ J1I(x0) | ∀ x ∈ A ∩ J1\{x0}: ƒ(x) ∈ I1

Preso J=J0∩J1 intorno di x0, qui si ha che:

∀ x ∈ A ∩ J\{x0}: ƒ(x) ∈ B ∩ I1\{y0} ⇒ g(ƒ(x)) ∈ I

Infatti ƒ(x) ∈ B perché l’immagine della funzione ƒ(A)⊂B per ipotesi, inoltre siamo certi che ƒ(x) ∈ I1 perché x ∈ J1; infine possiamo escludere y0 perché x ∈ J0, intorno in cui ƒ(x)≠y0.

Abbiamo dimostrato la definizione di limite per la funzione composta e dunque la tesi.

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