numeri-reali

Le proprietà dell’insieme dei numeri reali sono peculiari e possono essere sfruttate per il calcolo dei limiti e delle derivate.

In questo articolo tratteremo i sottoinsiemi dei numeri reali, in particolare quelli limitati, i quali godono tutti delle stesse proprietà.

 

Sottoinsiemi limitati di ℝ

Un sottoinsieme A di ℝ si dice limitato superiormente se:

∃ M ∈ ℝ | ∀ x ∈ A: x ≤ M

dove l’elemento M è detto maggiorante di A. Quindi il maggiorante di un sottoinsieme di ℝ è qualsiasi numero che è maggiore di tutti gli elementi del sottoinsieme e come si vede dalla definizione non deve appartenere al sottoinsieme.
Un sottoinsieme A di ℝ si dice limitato inferiormente se:

∃ m ∈ ℝ | ∀ x ∈ A: x ≥ m

in questo caso l’elemento m è detto minorante di A. Il minorante di un sottoinsieme di ℝ è qualsiasi numero che sia minore di tutti gli elementi del sottoinsieme; anche qui il minorante non deve necessariamente appartenere al sottoinsieme.

Consideriamo per esempio l’intervallo di ℝ ]−2; 5[: è un sottoinsieme di ℝ limitato sia superiormente che inferiormente. Esempi di maggiorante possono essere 5,5, 38, 100; esempi di minorante possono essere −2,111, −10, −2000.

L’intervallo ]−∞; 1000[ è un sottoinsieme limitato superiormente ma non inferiormente. L’intervallo ]−50000; +∞[ è un sottoinsieme limitato inferiormente ma non superiormente.

In generale un sottoinsieme di ℝ si dice limitato quando è sia limitato superiormente che inferiormente:

∃ M, m ∈ ℝ | ∀ x ∈ A: m ≤ x ≤ M

 

Massimo e minimo di sottoinsiemi reali

Un sottoinsieme A di ℝ si dice dotato di massimo se:

∃ M ∈ A | ∀ x ∈ A: x ≤ M

Questa definizione assomiglia a quella di insieme limitato superiormente, ma qual è la differenza? L’elemento M deve essere un elemento di A. Quindi il massimo di un sottoinsieme reale è quell’elemento che è maggiore di tutti gli elementi del sottoinsieme ed è unico, a differenza dei maggioranti che sono infiniti. Il massimo di A ⊆ ℝ si denota:

max A

Un sottoinsieme A di ℝ è dotato di minimo quando:

∃ m ∈ A | ∀ x ∈ A: x ≥ m

Anche adesso la definizione differisce da quella di insieme limitato inferiormente perché m è un elemento del sottoinsieme ed è unico (mentre i minoranti sono infiniti). Il minimo di A ⊆ ℝ si scrive:

min A

Facciamo un esempio considerando l’insieme A = {−¼; ¾; 1; 7,5789}; esso è un sottoinsieme di ℝ ed è dotato di massimo e minimo:

max A = 7,5789

min A = −¼

Come ulteriore esempio consideriamo l’intervallo A = [−10; ½[; A è dotato di minimo min A = −10, ma non è dotato di massimo perché è un intervallo semiaperto a destra, ciò significa che ½ non appartiene ad A. Tuttavia ½ è maggiorante di A.

 

Estremo superiore ed estremo inferiore

Un sottoinsieme A di ℝ è dotato di estremo superiore se sono verificate due condizioni:

  • ∃ h ∈ ℝ | ∀ x ∈ A: x ≤ h
  • dato M ∈ ℝ, se ∀ x ∈ A: x ≤ M ⇒ h ≤ M

Vediamo di capire cosa dicono queste due proposizioni. Secondo la prima esiste un numero reale h che è maggiore di tutti gli elementi di A. Per la seconda proposizione, preso un qualsiasi maggiorante di A (qualsiasi numero maggiore di ogni x ∈ A) allora h è sempre minore o uguale del maggiorante scelto; in altri termini h è il più piccolo dei maggioranti di A.
L’estremo superiore di A si denota:

sup A

Qual è la differenza fra estremo superiore e maggiorante? L’estremo superiore è unico ed è il più piccolo di tutti i maggioranti.
Sia A ⊆ ℝ; A si dice dotato di estremo inferiore se valgono le seguenti proprosizioni:

  • ∃ h ∈ ℝ | ∀ x ∈ A: x ≥ h
  • dato m ∈ ℝ, se ∀ x ∈ A: x ≥ m ⇒ h ≥ m

Le stesse considerazioni fatte per l’estremo superiore valgono per l’estremo inferiore: h è minore di tutti gli elementi di A e risulta essere maggiore di tutti i minoranti di A; quindi h è il più grande dei minoranti di A.
L’estremo inferiore di A è unico e si denota:

inf A

Allo stesso modo la differenza fra estremo inferiore e minorante sta nel fatto che il primo è unico e maggiore di tutti i minoranti.
Consideriamo l’intervallo A = [8; 20]:

inf A = 8

sup A = 20

In questo esempio estremo inferiore e superiore sono uguali rispettivamente al minimo e al massimo di A.
Se invece A = ]−3,7] abbiamo:

inf A = −3

sup A = 7

Notiamo che in quest’ultimo esempio l’estremo superiore di A coincide con il suo massimo.

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