Tutte le funzioni potenza (in base alle distinzioni fatte in questo articolo) hanno lo stesso dominio, codominio e grafico; per questo è importante memorizzarli e ricordarseli ogni volta che si studierà una funzione che comprende una funzione potenza. Spiegheremo anche perché dominio, codominio e grafico assumano determinati valori, per cercare di aiutare a comprendere e ricordare.

Funzione potenza con esponente intero positivo

La funzione potenza con esponente intero positivo ha come base l’incognita x e come esponente numeri interi maggiori di zero (x², x³, …).

Si possono distinguere due casi: esponenti pari e dispari; infatti il comportamento e il grafico in tal caso cambiano in maniera evidente.

n pari

Sia n un numero naturale, la funzione potenza con esponente intero positivo pari è definita come segue:

ƒn: ℝ → [0; +∞[
∀ x ∈ ℝ: ƒn(x)=xn

Alcuni esempi sono ƒn(x)=x2, ƒn(x)=x4, ƒn(x)=x20. Il grafico è una parabola con vertice nell’origine degli assi cartesiani.

grafico-funzione-potenza

È molto importante notare che l’insieme di arrivo nel caso di esponente pari è l’intervallo composto da tutti i numeri reali positivi, infatti qualsiasi numero (positivo o negativo) elevato ad un numero pari darà come risultato un numero positivo. Ad esempio con ƒn=x² abbiamo:

x
−3 9
−2 4
−1 1
1 1
2 4
3 9
4 16
5 25

Anche nel diagramma cartesiano si può osservare che il grafico si trova soltanto dalla parte delle y positive.

n dispari

Sia n un numero naturale dispari; si definisce funzione potenza con esponente intero positivo dispari la seguente:

ƒn: ℝ → ℝ
∀ x ∈ ℝ: ƒn(x)=xn

Il grafico si presenta in questo modo:

grafico-funzione-potenza-1

Nel caso di esponente dispari il codominio non è più costituito dai numeri reali positivi ma da tutto ℝ; infatti se moltiplichiamo un numero negativo per sé stesso un numero dispari di volte otterremo un numero negativo. Anche il grafico ci suggerisce ciò vedendo che per x negative anche ƒn assume valori negativi.

Funzione potenza con esponente intero negativo

La funzione potenza con esponente intero negativo ha come base l’incognita x e come esponente un numero intero negativo. Quando un qualsiasi numero o incognita ha un esponente negativo vuol dire che si sta considerando il suo reciproco elevato con l’esponente cambiato di segno:

funzione potenza
funzione potenza
funzione potenza

n pari

Dato n numero intero negativo, la funzione potenza con esponente intero negativo pari è:

ƒ−n: ℝ \{0} → ]0; +∞[
∀ x ∈ ℝ: ƒ−n(x)=x−n

Il grafico è il seguente:

grafico-funzione-potenza-2

Il dominio esclude lo zero perché in quel punto la funzione non è definita; anche nel grafico notiamo che la funzione si muove asintoticamente all’asse delle y poiché in x=0 non è definita. Il codominio è composto da tutti i numeri reali positivi come nel caso di esponente intero positivo ma è escluso lo 0.

n dispari

Sia n un numero intero negativo dispari. La funzione potenza con esponente intero negativo dispari è così definita:

ƒ−n: ℝ \ {0} → ℝ \ {0}
∀ x ∈ ℝ: ƒ−n(x)=x−n

Il grafico si presenta così:

grafico-funzione-potenza-3

Anche adesso il dominio esclude lo 0 perché in quel punto la funzione non è definita.

Funzione potenza: proprietà

Per descrivere le proprietà della funzione potenza da qui in poi consideriamo ƒn(x)=xn per avere una maggior chiarezza nelle notazioni.

  • ƒn(0)=0n=0
  • ƒn(1)=1n=1
  • ƒn(−1)=−1n=1 se n è pari
  • ƒn(−1)=−1n=−1 se n è dispari
  • dati due numeri x, y ∈ ℝ, se 0 ≤ x < y allora xn < yn
  • se l’esponente n è un numero pari allora la funzione potenza è simmetrica pari, cioè è simmetrica rispetto all’asse y; se n è dispari allora la funzione potenza è simmetrica dispari, cioè è simmetrica rispetto all’origine del diagramma cartesiano (osserva i grafici)

Due proprietà fondamentali della funzione potenza sono le seguenti.
Se x ∈ ℝ e 0 < x < 1 allora 0 < xn+1 ≤ xn < 1; spieghiamo questa proprietà: se l’incognita x assume valori compresi fra 0 e 1 allora la funzione esponenziale assumerà valori compresi fra 0 e 1. Inoltre le funzioni con esponente maggiore sono minori rispetto ad una funzione potenza con esponente minore;

Se x ∈ ℝ e x≥1, allora 1 ≤ xn ≤ xn+1; ciò significa che se l’incognita assume valori maggiori o uguali di 1 allora la funzione potenza assume valori maggiori o uguali a uno. Inoltre all’aumentare dell’esponente, le funzioni potenza con esponente maggiore saranno maggiori di una funzione potenza con esponente minore.

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