funzione-radice

La funzione radice è la funzione inversa della funzione potenza. La funzione radice n-esima si rappresenta come segue:

funzione-radice

Si possono distinguere due casi, quello in cui n è pari e quello in cui n è dispari. Infatti per essere più precisi la funzione radice con esponente pari è l’inversa della funzione potenza con esponente positivo pari ristretta all’intervallo [0; +∞[, mentre la funzione radice con esponente dispari è l’inversa della funzione potenza con esponente positivo dispari.

Funzione radice con n pari

Sia n un numero intero pari; la funzione radice con esponente pari è definita in questo modo:

ƒ1/n: [0; +∞[ → [0; +∞[
∀ x ∈ ℝ: ƒ1/n(x) = n√x

Quando n è pari, il dominio ammette solo numeri reali positivi; infatti non è possibile calcolare la radice con esponente pari di un numero negativo, come nel caso del calcolo della radice quadrata. Troviamo un riscontro di quanto appena detto nel grafico della funzione radice: come si può osservare, la funzione ha valori soltanto nel primo quadrante del diagramma cartesiano, cioè per x reali positive e per valori di ƒ reali e positivi.

grafico-funzione-radice

Funzione radice con n dispari

Sia n un numero intero dispari; la funzione radice con esponente dispari è data da:

ƒ1/n: ℝ → ℝ
∀ x ∈ ℝ: ƒ1/n(x) = n√x se x ≥ 0
∀ x ∈ ℝ: ƒ1/n(x) = −n√−x se x < 0

Il dominio e il codominio ora non sono più soltanto i numeri reali positivi, ma tutto l’insieme ℝ; infatti quando l’esponente è dispari l’argomento della radice può essere negativo, per esempio ³√−27=−3.
Il grafico della funzione radice ha l’andamento come in figura e notiamo che per x positive ƒ1/n assume valori positivi, per x negative ƒ1/n assume valori negativi.

grafico-funzione-radice-1

Funzione radice: proprietà

  • ƒ1/n(0) = n√0 = 0
  • ƒ1/n(1) = n√1 = 1
  • se x ≥ 0 allora n√x ≥ 0
  • dati x, y ≥ 0, se x < y allora n√x < n√y
  • se 0 < x < 1 allora n√x < (n+1)√x
  • se x ≥ 1 allora (n+1)√x < n√x
  • la funzione radice con n dispari è una funzione simmetrica dispari, cioè simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, come è possibile vedere dal grafico
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