Il concetto di velocità è talmente ricorrente nel linguaggio comune che spesso si dà per scontato sapere cosa sia. È bene però conoscere una definizione rigorosa di velocità, che ci permetterà poi di ottenere le formule per calcolarla nei diversi casi.

Definizione di velocità

Velocità media

Immaginiamo di osservare un punto materiale che si muove su una retta orientata sulla quale è stata scelta un’origine. Il punto si sposta dalla posizione x1, in cui si trova all’istante t1, alla posizione x2 supponendo che si trovi qui all’istante t2. Quindi il punto percorre un distanza x2 − x1 = Δx in un lasso di tempo pari a t2 − t1 = Δt. Il rapporto fra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo è la definizione di velocità:

calcolo velocità

Quando si considerano distanze finite si parla di velocità media, che descrive con quanta rapidità avviene il moto ma non ci dà nessuna indicazione sulle sue caratteristiche puntuali (cioè in ogni punto della traiettoria).

Velocità istantanea

Anche la velocità istantanea è definita come rapporto fra spazio percorso e intervallo di tempo impiegato, tuttavia la principale distinzione è che si considerano istanti di tempo molto piccoli, detti infinitesimi. Sia Δt → 0 (immaginiamo intervalli temporali talmente piccoli da essere quasi vicini allo zero), la formula della velocità media si trasforma in un limite:

calcolo velocità

Poiché questa espressione rappresenta il limite di un rapporto incrementale, la velocità istantanea è data dalla derivata di x rispetto a t. Come si può notare dalla notazione v(t), essa è una funzione che descrive come la velocità dipende dal tempo, permettendoci di sapere il suo andamento in ogni istante.

La velocità nel Sistema Internazionale si calcola in metri al secondo (m/s), essendo il metro l’unità di misura della lunghezza e il secondo l’unità di misura del tempo.

Calcolo velocità nel moto rettilineo

Il moto rettilineo è il più semplice che ci sia e si svolge su una retta.

calcolo velocità

Moto rettilineo uniforme

Il moto rettilineo uniforme è caratterizzato dall’avere velocità costante, quindi sia la velocità media che la velocità istantanea sono costanti e uguali in ogni punto:

vm = v(t) = costante

Ciò significa che se conosciamo lo spazio percorso e l’intervallo di tempo trascorso, la velocità è data dal loro rapporto, a prescindere da quale tratto stiamo considerando.

calcolo velocità

Grafico della velocità nel moto rettilineo uniforme.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato, il punto ha un’accelerazione costante; l’accelerazione è la variazione della velocità rispetto al tempo e quando è costante vuol dire che la velocità aumenta (o diminuisce) in maniera uniforme nel tempo ed è descritta da un equazione lineare:

v(t)=v0+a(t−t0)

Nel moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità è data dalla somma della velocità iniziale con il prodotto fra accelerazione e intervallo di tempo t−t0 (qui tutti i passaggi).

calcolo velocità

Grafico della velocità nel moto rettilineo uniformemente accelerato.

È possibile calcolare la velocità in funzione della posizione con la seguente formula:

calcolo velocità

Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice (o naturale) è un moto vario che avviene su una traiettoria rettilinea, con una legge oraria descritta dalla seguente formula:

calcolo velocità

dove A è l’ampiezza del moto (metri), ω è la pulsazione (radianti/secondo), φ è la fase iniziale (radianti) e sono tutte grandezze costanti, (ωt + φ) è la fase del moto (radianti). Il moto armonico è periodico, come si può notare dalla funzione seno presente nella legge oraria.
Per calcolare la velocità del moto armonico semplice si fa la derivata di x(t) rispetto al tempo:

calcolo velocità

La velocità nel moto armonico semplice in funzione della posizione vale:

calcolo velocità

Moto smorzato esponenzialmente

Il moto smorzato esponenzialmente è un moto vario per cui l’accelerazione è descritta dalla seguente relazione:

a = −kv

con k > 0. Poiché l’accelerazione e la velocità hanno segni discordi, quest’ultima diminuisce nel tempo (moto decelerato). Sapendo che l’accelerazione è data da:

calcolo velocità

sostituiamo la derivata della velocità rispetto al tempo nella prima equazione e otteniamo:

calcolo velocità

Risolvendo l’equazione differenziale del primo ordine, la velocità nel moto smorzato esponenzialmente si calcola:

calcolo velocità

dove v0 è la velocità per t = 0.

In questo caso la velocità in funzione di x vale:

calcolo velocità

Calcolo velocità nel moto curvilineo

Il moto curvilineo è un po’ più complesso da descrivere rispetto a quello rettilineo: mentre in quest’ultimo basta una sola variabile per rappresentarlo, nel moto curvilineo piano entrano in gioco due variabili (tre nello spazio).

Nell’immagine è descritto un generico moto curvilineo di un punto P:

calcolo velocità

 

Il moto del punto lungo la traiettoria può essere descritto da due tipi di coordinate:

  • componenti cartesiane: sono la proiezione x(t) e y(t) lungo gli assi cartesiani della posizione del punto

    calcolo velocità

    con ux e uy versori aventi direzione rispettivamente lungo x e y; usando la trigonometria otteniamo i valori delle due componenti:

    x = r cos θ

    y = r sin θ

  • componenti polari: sono costituite dal vettore posizione r(t) che parte dall’origine del sistema di riferimento e finisce sul punto P e dall’angolo θ(t) compreso fra l’asse delle x e il raggio vettore r(t) (vedi immagine sopra). Esse valgono:

    calcolo velocità

    calcolo velocità

Ipotizziamo che all’istante t il punto occupi la posizione r(t), mentre all’istante t+Δt occupi la posizione r(t+Δt).

calcolo velocità

Il vettore velocità è descritto dal seguente rapporto incrementale per istanti molto piccoli Δt→0:

calcolo velocità

Il vettore velocità è dato dalla derivata del vettore posizione rispetto al tempo ed ha direzione sempre tangente alla traiettoria.

La formula della velocità rispetto alle componenti cartesiane è data dalla somma delle componenti vx e vy lungo gli assi e si ottiene derivando la forma cartesiana di r(t) rispetto al tempo:

calcolo velocità

Dalla trigonometria sappiamo che vx = v cosφ e vy = v sinφ, con φ angolo formato da v e l’asse x. Inoltre possiamo ricavare il modulo della velocità col teorema di Pitagora v=√(vx2 + vy2), mentre ancora dalla trigonometria φ=tg(vy/vx).

La velocità rispetto alle componenti polari vale:

calcolo velocità

dove ur è il versore di direzione r e uθ è il versore ad esso perpendicolare, vr è la velocità radiale e vθ è la velocità trasversa e valgono:

calcolo velocità

La formula generale della velocità per un moto curvilineo è:

calcolo velocità

Moto circolare uniforme

Il moto circolare uniforme si svolge su una circonferenza ed ha velocità radiale vr costante. In questo caso si considera la velocità angolare ω che ha direzione perpendicolare al piano della traiettoria e verso concorde alla variazione dell’angolo θ:

calcolo velocità

Il modulo della velocità angolare è dato dal rapporto fra il modulo della velocità radiale e il raggio della circonferenza.

Moto parabolico

Il moto parabolico è un moto vario in cui la traiettoria descritta dal punto è una parabola, parte dall’origine del sistema di riferimento con una velocità iniziale v0 inclinata di un angolo θ rispetto all’asse x.
calcolo velocità

Questo tipo di moto è soggetto all’azione dell’accelerazione di gravità a = g = − g uy, dove g è il modulo di g pari a 9,81 m/s2 e uy è il versore di direzione y (g ha un valore negativo perché ha verso sempre diretto verso il basso, opposto all’asse y che abbiamo scelto come riferimento).

Possiamo sostituire il valore dell’accelerazione nella formula generale della velocità per un moto curvilineo e risolvere l’integrale:

calcolo velocità

Osserviamo che la velocità è data dalla differenza di due vettori che giacciono nel piano del moto (v0 e uy), quindi anche v giace nel piano xy in ogni punto della traiettoria. Possiamo scomporre la velocità iniziale nelle sue componenti cartesiane, ottenendo:

calcolo velocità

Sostituendo nella formula della velocità e raccogliendo gli elementi con direzione uy si ha che la velocità del moto parabolico è:

calcolo velocità

Esplora:


Disclaimer: queste informazioni hanno solo carattere indicativo. Non rappresentano e non si sostituiscono in alcun modo al consulto di un professionista e vengono fornite solo come strumento ad uso personale. Per un consulto professionale è fortemente consigliato il parere di un professionista qualificato.»