Il moto armonico semplice è un moto rettilineo, in quanto si muove su una traiettoria rettilinea, ma a differenza degli altri tipi di moto rettilineo è periodico, cioè dopo un intervallo di tempo T il punto materiale si trova di nuovo nella stessa posizione sulla traiettoria. Il moto armonico semplice è assimilabile alla proiezione del moto di un pendolo semplice su una retta orizzontale, oppure al moto che compie una massa collegata ad una molla. Per dare una descrizione visiva del moto armonico semplice consideriamo la seguente circonferenza su cui si muove il punto P in senso antiorario:

moto armonico semplice

Il moto armonico è assunto dal punto (in rosso in figura) che rappresenta la proiezione di P sull’asse orizzontale in ogni istante t: il punto proiettato raggiunge la velocità massima nel centro O, il raggio A della circonferenza è l’ampiezza del moto; in A e in -A il punto si arresta e inverte il verso del moto, quindi in queste due posizioni la velocità è nulla.

Legge oraria del moto armonico semplice

Il moto armonico semplice è periodico e ciò è riscontrabile dalla sua legge oraria, che è descritta da una funzione periodica:

x(t) = A sin(ωt+φ)

In questa formula compaiono delle costanti:

  • A è l’ampiezza (coincide con il raggio della circonferenza) e si misura in metri;
  • ω è la pulsazione e si misura in radianti al secondo (rad/s);
  • φ è la fase iniziale e si misura in radianti.

L’argomento del seno (ωt+φ) si chiama fase del moto armonico semplice e si misura in radianti. Il seno descrive il carattere periodico del moto, essendo una funzione 2π-periodica; quindi il punto sulla retta compie delle oscillazioni ampie A a partire dal centro O e hanno un periodo pari a T che vale:

moto armonico semplice

Ciò significa che dopo un intervallo di tempo pari a T il punto torna nella stessa posizione sulla traiettoria alla stessa velocità. Dall’ultima equazione possiamo ricavare il valore della pulsazione e comprenderne meglio il significato:

moto armonico semplice

Notiamo che T si trova al denominatore, ciò vuol dire che quando il periodo ha valori piccoli la pulsazione è grande, quando invece il periodo è grande la pulsazione è piccola. Un’altra grandezza importante che deriva dal periodo è la frequenza, uguale al suo inverso:

moto armonico semplice

La frequenza può essere espressa anche in funzione della pulsazione, sempre considerato che è l’inverso del periodo:

moto armonico semplice

Il grafico della legge oraria del moto armonico semplice è il seguente.
moto armonico semplice

Velocità del moto armonico semplice

Per ricavare la velocità del moto armonico semplice è necessario calcolare la derivata della legge oraria rispetto al tempo. Dalle regole di derivazione sappiamo che dobbiamo moltiplicare la derivata del seno (uguale al coseno) per la derivata del suo argomento (ωt+φ) rispetto al tempo, pari a ω in quanto φ è una costante:

moto armonico semplice

La funzione coseno ha come valore massimo 1, quindi la velocità massima vale ωA e si ha nell’origine O della circonferenza. La velocità è nulla agli estremi A e −A, in quanto il punto si arresta e inverte il senso del moto.

moto armonico semplice

Accelerazione del moto armonico semplice

Per ottenere l’accelerazione del moto armonico semplice si calcola la derivata della velocità rispetto al tempo, usando ancora le regole di derivazione si ottiene:

moto armonico semplice

Notiamo che l’espressione che segue −ω2 è la stessa che assume x(t), possiamo quindi sostituire:

moto armonico semplice

Il valore massimo che può avere l’accelerazione è ω2A e il punto l’assume agli estremi dove il verso della velocità si inverte, mentre si annulla nel centro. Il grafico dell’andamento dell’accelerazione è il seguente:

moto armonico semplice

Se si vogliono calcolare il valori di A e φ bisogna imporre le seguenti condizioni iniziali è risolvere il sistema:

moto armonico semplice

la cui soluzione è data da:

moto armonico semplice

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