Proporzione (matematica)

proporzione

Prima di affrontare il calcolo proporzionale ripassiamo brevemente il concetto di rapporto fra due numeri.

Proporzioni: cos’è il rapporto fra due numeri

Il rapporto fra due numeri è il risultato della loro divisione quando avviene senza resto, cioè abbiamo un risultato intero, ad esempio 100 : 5 = 20 oppure 240 : 3 = 80.

Il rapporto fra due numeri generici a e b si indica

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dove a è detto antecedente e b conseguente.

Una caratteristica della divisione è la proprietà invariantiva per cui se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i termini (i numeri che la compongono) di una divisione, il risultato non cambia.

Se abbiamo ad esempio 200 : 4 facciamo

      200             :            4            =    50

   (200 : 2)         :       (4 : 2)         =      50

     100              :             2           =    50

Nel secondo rigo abbiamo diviso 200 e 4 per 2, nel terzo abbiamo fatto la divisione ma questa volta con i numeri 100 e 2 ottenuti dalla divisione del rigo precedente, il risultato finale è sempre 50.

In questo caso si dice che i rapporti sono uguali. Quando due rapporti sono uguali possiamo scrivere, considerando il nostro esempio

proporzioni Proporzione (matematica)

Questa espressione si chiama proporzione, che è l’uguaglianza fra due rapporti che hanno lo stesso risultato.

Proporzioni: caratteristiche

La proporzione fra quattro numeri a b c d si scrive

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e si ha quando il rapporto fra il primo termine con il secondo (diverso da zero) è uguale al rapporto fra il terzo e il quarto (anche questo diverso da zero). La proporzione si legge “a sta a b come c sta a d“. I numeri che fanno parte di una proporzione si dicono termini, in particolare il primo termine e il quarto si dicono estremi mentre il secondo e il terzo sono detti medi.

proporzioni 1 Proporzione (matematica)

I termini si possono distinguere anche chiamando il primo e il terzo termine antecedente, il secondo e il quarto conseguente. L’elemento d è anche detto quarto proporzionale perché si ricava direttamente da a b e c.

proporzioni 2 Proporzione (matematica)

Proporzioni: proprietà

Le proporzioni hanno le seguenti proprietà ed è proprio grazie a queste che trovano un forte riscontro pratico:

  1. proprietà fondamentale delle proporzioni;
  2. proprietà del permutare;
  3. proprietà dell’invertire;
  4. proprietà del comporre;
  5. proprietà dello scomporre;
  6. regola del quarto proporzionale.

Proprietà fondamentale delle proporzioni

Il prodotto dei estremi è uguale al prodotto degli medi.

Questo è l’enunciato della proprietà fondamentale che in formule si può scrivere

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Dimostriamolo con un esempio. Se abbiamo la proporzione

49 : 7 = 105 : 15

sappiamo che i numeri 7 e 105 sono i medi, i numeri 49 e 15 sono gli estremi. La riscriviamo con le frazioni

proporzioni 4 Proporzione (matematica)

A questo punto facciamo in modo che le due frazioni abbiano lo stesso denominatore. Moltiplichiamo e dividiamo il primo membro per 15 e moltiplichiamo e dividiamo il secondo membro per 7

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e a tutti e due i denominatori otteniamo 105

proporzioni 6 Proporzione (matematica)

Queste due frazioni sono uguali e, visto che i denominatori sono già lo stesso numero, anche i prodotti al numeratore devono essere uguali affinché questa equazione sia valida

49 x 15 = 105 x 7

ma questa espressione rappresenta proprio il prodotto degli estremi (49 e 15) e il prodotto dei medi (105 e 7) che devono essere uguali. Abbiamo dimostrato la proprietà. Da questa derivano le prossime proprietà.

Proprietà del permutare

Data una proporzione, scambiando i medi oppure scambiando gli estremi o entrambe le cose si ottiene una nuova proporzione.

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Proprietà dell’invertire

Data una proporzione, scambiando gli antecedenti con i conseguenti si ottiene una nuova proporzione.

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Proprietà del comporre

Data una proporzione, la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti come ogni antecedente sta al rispettivo conseguente.

proporzioni 11 Proporzione (matematica) proporzioni 12 Proporzione (matematica)

Proprietà dello scomporre

Data una proporzione, la differenza degli antecedenti sta alla differenza dei conseguenti come ogni antecedente sta al rispettivo conseguente.

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Proporzioni: applicazioni pratiche

Le proporzione hanno molti riscontri pratici nei calcoli più diffusi, ad esempio nel calcolo delle percentuali oppure nel principio della leva.

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