Teorema di Pitagora

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Il teorema di Pitagora è forse uno dei più conosciuti e più utilizzati nel campo della matematica, della fisica e in molte altre applicazioni

Il teorema di Pitagora è uno dei più conosciuti ed utilizzati in svariate materie scientifiche. L’enunciato era già noto ad alcune popolazioni come i Babilonesi, in India e in Cina, ma la dimostrazione viene attribuita al filosofo e matematico dell’antica Grecia, Pitagora.

Teorema di Pitagora: enunciato

In un triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

Teorema di Pitagora Teorema di Pitagora

Se abbiamo un triangolo rettangolo dotato di ipotenusa b e di cateti a e c come mostrato in figura

triangolo rettangolo Teorema di Pitagora

possiamo scrivere l’enunciato del teorema in formula, che si esprime in questo modo:

Questa formula è stata momentaneamente nascosta

Premendo "Mi piace" una sola volta puoi vedere subito tutte le formule che abbiamo momentaneamente nascosto, in questo modo potrai aiutarci a farci conoscere.


Teorema di Pitagora: dimostrazione

Vi sono diversi modi per dimostrare questo teorema, il più famoso è questo:

Ipotesi

Facendo riferimento all’immagine supponiamo che l’angolo ACB del triangolo ABC sia retto cioè di 90°.

Teorema di Pitagora dim Teorema di Pitagora

Tesi

AB² = BC² + AC²

Procedimento

Sia BCFG  il quadrato costruito sul cateto BC e sia ACDE il quadrato costruito sul cateto AC. Da C facciamo partire il segmento perpendicolare all’ipotenusa AB prolungandolo fino al lato IH del quadrato ABHI. Il punto M rappresenta la proiezione di C su AB.

Il segmento MN divide il quadrato ABHI in due rettangoli AMNI e MBHN. A questo punto applichiamo il primo teorema di Euclide secondo cui “in ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo avente per lati l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa“.

Il rettangolo AMNI è equivalente al quadrato ACDE e il rettangolo MBHN è equivalente a BCFG , infatti le ipotesi del primo teorema di Euclide sono verificate:

  • AMNI ha i lati AI e MN che sono lunghi quanto l’ipotenusa (AM è anche il lato del quadrato costruito sull’ipotenusa che ha i lati tutti e quattro uguali!) e i lati AM e IN che sono lunghi quanto la proiezione del cateto AC sull’ipotenusa;
  • MBHN ha i lati BH e MN che sono lunghi quanto l’ipotenusa e i lati MB e NH che sono lunghi quanto la proiezione del cateto BC sull’ipotenusa.

La somma dei due rettangoli AMNI e MBHN dà proprio il quadrato ABHH, quindi visto che ACDE e BCFG sono equivalenti a questi due quadrati allora anche la loro somma è equivalente al quadrato costruito sull’ipotenusa. Abbiamo dimostrato così la nostra tesi.

Teorema di Pitagora: storia

Secondo una leggenda, questo teorema fu formulato da Pitagora quando, recatosi presso il palazzo di Samo, attendeva di essere accolto in udienza da Policrate, tiranno dell’isola di Samo. Mentre aspettava, osservando le piastrelle quadrate del pavimento si pensa che notò una di queste che era rotta proprio lungo una diagonale.

Teorema Pitagora Teorema di Pitagora

Immaginando di costruire un quadrato lungo la diagonale arrivò alla tesi notando che l’area delle due piastrelle che stavano adiacenti ai cateti era pari per ciascuna a due mezze piastrelle quindi in totale una piastrella e che l’area di entrambe quindi era data da quattro mezze piastrelle, in tutto due piastrelle. Guardando l’immagine si vede che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale a quattro mezze piastrelle, cioè in totale due. Ecco dimostrato il teorema.

Teorema di Pitagora: un video interessante

Il canale Youtube mathematicsonline ci offre un video molto utile che aiuta a comprendere il teorema di Pitagora grazie a delle brillanti animazioni. Rimarrai sorpreso da quante relazioni è possibile ottenere grazie a questo teorema.

Immagine tratta da La Scuola Di Atene di Raffaello Sanzio.
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